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By Professor Dr. Helmut Wolter, Dr. Bernd Ingo Dahn (auth.)

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Dann gilt: Es seien 4/1/34 4/1/35 L bi 1st L ai (1) 1st konvergent, so ist auch (2) divergent, so ist auch L ai konvergent. L bi divergent. Bemerkung. 8 genugt es vorauszusetzen, daB 0::; ai ::; bi fiir fast alle i gilt. 9 ( Wurzelkriterium) Es sei (ai) eine beliebige Folge. Dann gilt: (1) Existierl ein q mit 0 < q < 1, so daft fUr jedes i gilt: dann ist ai absolut konvergent. L (2) 1st 4/1/37 {IjliJ ~ 1 fur aile i, dann ist L ai {IjliJ::; q, divergent. Bemerkung. Fur die Anwendung des Wurzelkriteriums genugt es, daB {/jaJ ::; q < 1 fiir fast alle i.

An+l > 1 (denn aile an sind positiv). an Es ist n+2 = n+1' n ( r( ~) n+l _ ~ n+2. (n(n+2)) n +1 (n + 1)2 _ n+2. ((n+1)2- 1 ) _ n+2. - n+1 (n + 1)2 - n+1 n (1- (n + )n 1 , ... 1)2 , ~ 1- (n;1)2 2: ~! (1 - (n: 1)2 ) n 2 +n + 1 >1 - n + 1 . n 2 + 2n + 1 ' - n +2 (Bernoullische Ungleichung) &nn 30 Kapitel 3 n n Folgen von reellen Zahlen + 2 n2 + n + 1 > 1 + 1 . n 2 + 2n + 1 (und die letzte Ungleichung gilt ofIensichtlich). Also an < an+1 fur jedes n, und damit ist (an) streng monoton wachsend. Zu 2.

Und weiterhin (a + ib) . (e + id) = (a, b) . (e, d) = (ae - bd, ad + be) = ae - bd + i(ad + be). Berechnet man das Produkt (formal) wie in einem Karper, so entsteht dasselbe Ergebnis: (a + ib) . (c + id) = a·c + a·id + ib·e + ib·id = ae - bd + i·(ad + be). '-v-' i 2 ·db 4/3/7 Definition. (Betrag fur komplexe Zahlen) + iy. Izi Df ";x2 + y2. : 4/3/8 Izl heiBt IZI - z21 Betrag von z und heiBt Abstand zwischen Zl und Z2. J. 4 Potenzreihen 55 Bemerkung. Da die komplexen Zahlen einen K6rper bilden, kann man mit ihnen entsprechend der Axiome 1(1 - 10) rechnen (vgl.

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