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By Wolfgang Walter

Hauptthema dieses zweiten Bandes ist die Differential- und Integralrechnung f?r Funktionen von mehreren Ver?nderlichen. Dabei wird auch das Lebesguesche critical im Rn behandelt. Dem erfolgreichen Konzept von "Analysis 1" folgend, wird viel Wert auf historische Zusammenh?nge, Ausblicke und die Entwicklung der research gelegt. Zu den Besonderheiten, die ?ber den kanonischen Stoff des zweiten Semesters hinausgehen, geh?ren das Morsesche und das Sardsche Lemma, die C?-Approximation von Funktionen (Mollifiers) und die Theorie der absolutstetigen Funktionen. Zahlreiche Beispiele, ?bungsaufgaben und Anwendungen, z.B. aus der Physik und Astronomie, runden dieses Lehrbuch ab. Der Abschnitt "L?sungen und L?sungshinweise" wurde f?r die Neuauflage wesentlich erweitert, so da? die ?berwiegende Zahl der Aufgaben im Buch nun besprochen oder vollst?ndig gel?st wird.

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AuBerdem erhalt man aus (12-3) noch (14) (O,x) = (x,O) = 0 fUr alle x EX. Eine solche Funktion C,) heiBt ein Innenprodukt oder Skalarprodukt auf X, und der damit versehene Vektorraum X heiBt ein Innenproduktraum oder PraeH ilbertraum. Wir zeigen nun, daB jeder Innenproduktraum ein normierter Raum ist, wenn die Norm durch (N) Ixl := V(x,x) definiert wird. Die Definitheit und Homogenitat der Norm ergeben sich un schwer aus (11)-(13). a. in Gattingen und Berlin) benannte Ungleichung: Fur x,y E X gilt l(x,y)1 ::; Ixllyl Schwarzsche Ungleichung Gleichheit tritt genau dann ein, wenn x, y linear abhiingig sind.

Aquivalente Normen. Zwei verschiedene, tiber demselben Vektorraum X erkliirte Normen Ixl und IIxil werden iiquivalent genannt, wenn es positive Konstanten Ct, P gibt, so daB (Aq) Ctlxl :$; IIxil :$; Plxl fUr alle x E X ist. 4 definiert wird. q) die entsprechende Ungleichung P-Illxll :$; Ixl :$; Ct-Illxll, also die Symmetrie der Relation. quivalente Normen erzeugen dieselben Nullumgebungen, also denselben Konvergenz- und Vollstandigkeitsbegriff. Beispiele. 1. Der Raum IRn. Bei der Einftihrung des normierten Raumes hat der IRn offen bar Pate gestanden.

Notwendig und hinreichend fUr die Konvexitat von f. Aufgaben 1. Ableitung einer Menge. Es sei Meine Teilmenge eines metrischen Raumes und M' die Menge der Haufungspunkte in M. Man zeige, daB M' abgeschlossen ist. Cantor hat die Menge M' Ableitung von M genannt und auch h5here Ableitungen Mil := (M'l', ... betrachtet. Dieser Begriff spielte bei der Entwicklung der Mengenlehre eine wichtige RoUe. § 1. Metrisehe Rliume. : 1und ganz} und ungerade} . 2. Fiir die folgenden eben en Mengen bestimme man das Innere, den Rand und die abgesehlossene Hiille.

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