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By Forster

Dieses seit über 30 Jahren bewährte Standardwerk ist gedacht als Begleittext zur Analysis-Vorlesung des ersten Semesters für Mathematiker, Physiker und Informatiker. Bei der Darstellung wurde besonderer Wert darauf gelegt, in systematischer Weise, aber ohne zu große Abstraktionen zu den wesentlichen Inhalten vorzudringen und sie mit vielen konkreten Beispielen zu illustrieren. An verschiedenen Stellen wurden Bezüge zur Informatik hergestellt. Einige numerische Beispiele wurden durch Programm-Codes ergänzt, so dass die Rechnungen direkt am machine nachvollzogen werden können. Die vorliegende nine. Auflage wurde an mehreren Stellen weiter überarbeitet und es wurden einige neue Abbildungen und Übungsaufgaben ergänzt.

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H. x ∈ Ik . h. |x0 − ank | 2−k+1 nk ist |an − ank F¨ur n |x0 − an | < 2 f¨ur alle k | < 2−k , −k+1 +2 −k 0. also insgesamt < 2−k+2 , woraus folgt limn→∞ an = x0 , die Cauchy-Folge konvergiert also. Damit ist Satz 3 bewiesen. ¨ Wegen der bewiesenen Aquivalenz h¨atten wir statt des Axioms u¨ ber die Konvergenz von Cauchy-Folgen auch das Intervallschachtelungs-Prinzip zum Axiom erheben k¨onnen. Wir haben das Vollst¨andigkeits-Axiom mit den CauchyFolgen gew¨ahlt, da diese einen zentralen Begriff in der Analysis darstellen, der auch noch in viel allgemeineren Situationen anwendbar ist.

F¨ur jedes x gilt genau eine der drei Beziehungen x > 0, x = 0, −x > 0 . 2) Abgeschlossenheit gegen¨uber Addition. x > 0 und y > 0 =⇒ x+y > 0. 3) Abgeschlossenheit gegen¨uber Multiplikation. x > 0 und y > 0 =⇒ xy > 0 . 3) lassen sich zusammenfassend kurz so ausdr¨ucken: Summe und Produkt positiver Elemente sind wieder positiv. Zur Notation. Wir haben hier in der Formulierung der Axiome den Implikationspfeil benutzt. A ⇒ B bedeutet, dass die Aussage B aus der Aussage A folgt. Die Bezeichnung A ⇔ B bedeutet, dass sowohl A ⇒ B als auch B ⇒ A gilt, also die Aussagen A und B logisch a¨ quivalent sind.

Seien (an )n∈N und (bn )n∈N zwei konvergente Folgen reeller Zahlen und λ, µ ∈ R. Dann konvergiert auch die Folge (λan + µbn )n∈N und es gilt lim (λan + µbn ) = λ lim an + µ lim bn . n→∞ n→∞ n→∞ Dies ergibt sich aus Satz 3, da man die Folge (λan )n∈N als Produkt der konstanten Folge (λ) mit der Folge (an ) auffassen kann, und analog f¨ur (µbn ). Beispielsweise erh¨alt man f¨ur λ = 1, µ = −1 insbesondere folgende Aussage: Zwei konvergente Folgen (an ) und (bn ) haben genau dann denselben Grenzwert, wenn die Differenzfolge (an − bn ) eine Nullfolge ist.

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